Bonjour,
Aller je me lance même si je n'ai pas une réponse complète.
Je me suis lancé sur le cas de 8 prisonniers.
J'ai utilisé la rédaction de @Fix
Pour 8 prisonnier le nombre de cas est : 2^8=256 cas possibles
La probabilité d'un de ces cas est C(8,k)/2^8 avec k le nombre de chapeaux bleus et C(n,k) le nombre de combinaisons de k éléments parmi n.
RRRRRRRR p=1/256
BRRRRRRR p=8/256
BBRRRRRR p=28/256
BBBRRRRR p=56/256
BBBBRRRR p=70/256
BBBBBRRR p=56/256
BBBBBBRR p=28/256
BBBBBBBR p=8/256
BBBBBBBB p=1/256
Je pose Nb et Nr le nombre de chapeaux rouges et bleus visibles par une personne.
Dans mon cas on a Nb+Nr=7
Du coup, j'ai élaboré un tableau de réponse suivant le nombre de chapeaux visibles par une personne pour "maximiser" la probabilité de gagner.
Pour 8 prisonniers cela donne :
nB Nr Réponse du prisonnier
0 7 B
1 6 P
2 5 R
3 4 B
4 3 P
5 2 B
6 1 P
7 0 R
Du coup si chaque prisonnier suit ces règles de réponses on obtient :
RRRRRRRR | BBBBBBBB | PERDU p=1/256
BRRRRRRR | BPPPPPPP | GAGNE p=8/256
BBRRRRRR | PPRRRRRR | GAGNE p=28/256
BBBRRRRR | RRBBBBBB | PERDU p=56/256
BBBBRRRR | BBBBPPPP | GAGNE p=70/256
BBBBBRRR | BBBBBBBB | PERDU p=56/256
BBBBBBRR | BBBBBBPP | GAGNE p=28/256
BBBBBBBR | PPPPPPPR | GAGNE p=8/256
BBBBBBBB | RRRRRRRR | PERDU p=1/256
Donc au final , (8+28+70+28+8)/(2^8) = 142/256 soit environ 55,47 % de chance de réussir.
Bon il va falloir que je relise et que je vérifie qu'il n'y a pas d'erreurs. N'hésitez pas à me corriger , je fais ça pendant un devoir surveillé de mes élèves 